若 \(p\Rightarrow q\)，則 \(p\) 是 \(q\) 的充分條件，\(q\) 是 \(p\) 的必要條件。\(p\) 是 \(q\) 的充分不必要條件，\(p\Rightarrow q\) 且 \(q\not\Rightarrow p\)。\(p\) 是 \(q\) 的必要不充分條件，\(p\not\Rightarrow q\) 且 \(q\Rightarrow p\)。\(p\) 是 \(q\) 的充要條件，\(p\Leftrightarrow q\)。
2. 全稱量詞和存在量詞全稱量詞：\(\forall\)。存在量詞：\(\exists\)。
(資料圖片)
集合元素的三個(gè)特征：確定性、互異性、無(wú)序性。元素與集合的關(guān)系是屬于或不屬于關(guān)系，用符號(hào) \(\in\) 或 \(\notin\) 表示。集合的表示法：列舉法、描述法、圖示法。自然數(shù)集：\(N\)，正整數(shù)集：\(N^*\) 或 \(N_+\)，整數(shù)集：\(Z\)，有理數(shù)集：\(Q\)，實(shí)數(shù)集：\(R\)。
2. 集合間的基本關(guān)系子集：集合 \(A\) 中所有元素都在集合 \(B\) 中，\(A\subseteq B\)。真子集：集合 \(A\) 是 \(B\) 的子集，且集合 \(B\) 中至少有一個(gè)元素不在集合 \(A\) 中，\(A\subsetneq B\)。集合相等：集合 \(A\)，\(B\) 中元素相同，\(A=B\)。
3. 集合的基本運(yùn)算集合的并集：\(A\cup B={x|x\in A 或 x\in B}\)。集合的交集：\(A\cap B={x|x\in A 且 x\in B}\)。集合的補(bǔ)集：\(\complement_UA={x|x\in U 且 x\notin A}\)。結(jié)合律：對(duì)于任意三個(gè)集合 \(A\)，\(B\) 和 \(C\)，結(jié)合律指的是 \((A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)\) 和 \((A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)\)。交換律：對(duì)于任意兩個(gè)集合 \(A\) 和 \(B\)，交換律指的是 \(A ∪ B = B ∪ A\) 和 \(A ∩ B = B ∩ A\)。對(duì)稱差：\(A \Delta B = (A - B) ∪ (B - A)\)
計(jì)數(shù)（映射）1. 映射的概念兩集合 \(A\)，\(B\)：\(A\)，\(B\) 是兩個(gè)非空集合。對(duì)應(yīng)關(guān)系 \(f\)：\(A\rightarrow B\)，如果按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系 \(f\)，使對(duì)于集合 \(A\) 中的任意一個(gè)元素 \(x\)，在集合 \(B\) 中都有唯一確定的元素 \(f(x)\) 與之對(duì)應(yīng)。名稱：稱 \(f\)：\(A\rightarrow B\) 為從集合 \(A\) 到 \(B\) 的一個(gè)映射。
2. 映射的有關(guān)概念若 \(f(A)=B\)，則映射 \(f\) 稱為滿射；若對(duì)于 \(A\) 中任意兩個(gè)不同的元素 \(x_1\not=x_2\)，均有 \(f(x_1)\not=f(x_2)\)，則映射 \(f\) 稱為單射；如果映射 \(f\) 既是單射又是滿射，則映射 \(f\) 稱為一一映射。此時(shí)存在 \(f^{-1}\) ：\(B\rightarrow A\)，使得 \(\forall x\in A\)，均有 \(f^{-1}(f(x))=x\)，\(\forall y\in B\)，均有 \(f(f^{-1}(y))=y\)。
3. 映射的應(yīng)用\(C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}\)\(C_n^k=C_n^{n-k}\)\(C_n^0+C_n^1+C_n^2+\cdots +C_n^n=2^n\)\(C_n^0+C_n^2+C_n^4+\cdots +C_n^{2k}=C_n^1+C_n^3+C_n^5+\cdots+C_n^{2k+2}\)\(C_n^k=C_{n-1}^k+C_{n-1}^{k-1}\)\(C_n^k=\frac{n}{k}C_{n-1}^{k-1}\)\(C_n^k=\frac{n-k+1}{k}C_n^{k-1}\)
容斥\(|\cup_{i=1}^{n}A_i|=\sum_{i}|A_i|-\sum_{i,j}|A_i\cap A_j|+\sum_{i,j,k}|A_i\cap A_j\cap A_k|\cdots+(-1)^{n-1}\times|\cap_{i=1}^{n}A_i|=\sum\limits_{k=1}^{n}(-1)^{k-1}\times \sum\limits_{1\le x_1\le x_2\cdots x_k\le n}|\cap_{i=1}^{k}A_{x_i}|\)
數(shù)列等差數(shù)列：\(a_n=a_1+(n-1)d=dn+(a_1-d)\)，\(s_n=\frac{(a_1+a_n)n}{2}=na_1+\frac{n(n-1)}{2}d\)等比數(shù)列：\(a_n=a_1q^{n-1}(q\not=0)\)，\(s_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}(q\not=1)\)，\(s_n=na_1(q=1)\)
裂項(xiàng)\(\sum\limits_{i=1}^{n}i=\frac{1}{2}n(n+1)\)\(\sum\limits_{i=1}^{n}i^2=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)\)\(\sum\limits_{i=1}^{n}i^3=\frac{1}{4}n^2(n+1)^2\)\(\sum\limits_{i=0}^{n}C_n^ia^ib^{n-i}=(a+b)^n\)
Abel恒等式\(\sum\limits_{a_i}^{b_i}=S_nb_n+\sum\limits_{i}^{n-1}S_i(b_{i+1}-b_i)\)
數(shù)學(xué)歸納法1. 第一歸納法先證 \(n=1\) 時(shí)，成立若 \(n=k\) 時(shí)，成立再證 \(n=k+1\) 時(shí)，成立2. 第二歸納法先證 \(n=1\) 時(shí)，成立若 \(n=1, n=2, \cdots n=k\) 時(shí)，成立再證 \(n=k+1\) 時(shí)成立3. 第三歸納法（證明 \(n\) 元均值不等式）先證 \(n=2\) 時(shí)，成立若 \(n=2^k\) 時(shí)，成立再證 \(n=2^m\) 時(shí)，成立若 \(n = m\) 時(shí)，成立最后證 \(n=m-1\) 時(shí)，成立博弈論先求第一制勝點(diǎn)遞推：\((1)\) 能走到制勝點(diǎn)的點(diǎn)都是必?cái)↑c(diǎn)。\((2)\) 無(wú)論怎么走都是必?cái)↑c(diǎn)，才是必勝點(diǎn)。根據(jù)遞推的結(jié)果猜測(cè)策略用數(shù)學(xué)歸納法證明此策略漢諾塔令 \(n\) 為當(dāng)前漢諾塔的個(gè)數(shù)，且均在第一根柱子上。則先將上面 \(n-1\) 個(gè)，按順序移動(dòng)到第二根柱子上。再將第 \(n\) 個(gè)漢諾塔移動(dòng)到第三根柱子上。最后將 \(n - 1\) 個(gè)漢諾塔，按順序移動(dòng)到第三根柱子上。于是遞推公式即為：\(a_n=2a_{n-1}+1\)。轉(zhuǎn)變?yōu)橥?xiàng)公式即為：\(a_n=2^n-1\)。
砝碼問(wèn)題只有一邊放置砝碼，有 \(n\) 個(gè)砝碼，則最多能夠稱出 \(2^n-1\) 種重量。兩邊都可以放置砝碼，有 \(n\) 個(gè)砝碼，則最多能夠稱出 \(\frac{3^n-1}{2}\) 種重量。
錯(cuò)排\(n\) 元錯(cuò)排公式：\(D_n=\sum\limits_{i=0}^{n}(-1)^iC_n^i(n-i)!=\sum\limits_{i=0}^{n}(-1)^i\frac{n!}{i!}=n!\sum\limits_{i=0}^{n}(-1)^i\frac{1}{i!}\approx \frac{n!}{e}\)遞推式：\(D_n=(n-1)(D_{n-1}+D_{n-2})\)
卡特蘭數(shù)遞推式：\(H_n=\sum\limits_{i=0}^{n}H_iH_{n-i}\)通項(xiàng)公式：\(H_n=C_{2n}^{n}-C_{2n}^{n-1}=\frac{C_{2n}^{n}}{n+1}\)
遞推公式向通項(xiàng)公式的轉(zhuǎn)化1. 待定系數(shù)遞推式兩邊同時(shí) \(+k\)，再利用第一項(xiàng)和等比數(shù)列公式求出通項(xiàng)公式。
\[ \begin{cases}a_1=1 \\[2ex]a_{n+1}=2a_n+1\end{cases}\]\[a_{n+1}+k=2(a_n+k)\]\[k=1\]最終通項(xiàng)公式為：\(a_n=2^n-1\)
2. 兩邊同除以 \(p^{n+1}\)遞推式兩邊同時(shí)除以 \(p^{n+1}\)，再利用第一項(xiàng)和等差數(shù)列公式求出通項(xiàng)公式。
\[ \begin{cases}a_1=1 \\[2ex]a_{n+1}=2a_n+1\end{cases}\]\[\frac{a_{n+1}}{2^{n+1}}=\frac{a_n}{2^n}+\frac{1}{2^{n+1}}\]最終通項(xiàng)公式為：\(a_n=2^n-1\)
3. 取倒數(shù)遞推式兩邊同時(shí)取倒數(shù)，再利用第一項(xiàng)和等比數(shù)列公式或等差數(shù)列公式求出通項(xiàng)公式。
4. fib當(dāng)有 \(n+1\) 項(xiàng)與 \(n\) 和 \(n-1\) 有關(guān)系時(shí)，將第 \(k\) 項(xiàng)轉(zhuǎn)換為 \(x^{k}\)，再利用前兩項(xiàng)求得系數(shù)。斐波那契通項(xiàng)公式：
\[\frac{\sqrt[]{5}}{5}((\frac{1+\sqrt[]{5}}{2})^n-(\frac{1-\sqrt[]{5}}{2})^n)\]Stirling 數(shù)第一斯特林?jǐn)?shù)：\(S(p, i)=S(p-1, i-1)+iS(p-1,i)\) \((1\le i\le p-1)\)第二斯特林?jǐn)?shù)：\(S(p,i)=S(p-1, i-1)+(p-1)S(p-1, i)\)
Bell 數(shù)\(B_p=\sum\limits_{i=0}^{p}S(p, i)\)\(B_p=\sum\limits_{i=0}^{p-1}C_{p-1}^{i}B_{p-i-1}\)
整除1. 定義\(a|b:\exists n\in Z\) 使得 \(b=an\)。
2. 性質(zhì)傳遞性：\(a|b, b|c\Rightarrow a|c\)可加減性：\(n|a, n|b\Rightarrow n|a\pm b\)可乘性：\(a|b, c|d\Rightarrow ac|bd\) \((a|b\Rightarrow a|bd)\)
最大公因與最小公倍1. 定義\(\gcd(a, b):\max(m\mid m|a 且 m|b)\)\(\operatorname{lcm}(a, b):\min(n\mid a|n 且 b|n, n\gt 0)\)
2. 帶余除法\(a\div b=q\cdots r\)確定了 \(a\) 和 \(b\)，那么 \(q\) 和 \(r\) 就確定了。
3. 輾轉(zhuǎn)相除\((1)\) \((a, b)=(a-b, b)\)\(\forall x\in\lbrace a, b的公因數(shù)\rbrace\)\(x|a, x|b\Rightarrow x|a-b\Rightarrow x\in\lbrace a-b與b的公因數(shù)\rbrace\)\(\therefore\lbrace a, b的公因數(shù)\rbrace =\lbrace a-b與b的公因數(shù)\rbrace\)\((2)\) 若 \(a\div b=q\cdots r\)，則 \((a, b)=(b, r)\)證明：通過(guò) \((1)\) 多做幾次就好了。\((3)\) 輾轉(zhuǎn)相除法
\[\forall a\gt b, a_1=a, b_1=b, a_1\div b_1=q_1\cdots r_1\]\[(a_1, b_1)=(b_1, r_1)\]令 $$a_2=b_1, b_2=r, a_2\div b_2=q_2\cdots r_2$$ $$(a_2, b_2)=(b_2, r_2)$$
\[\vdots\]直到 $$r_n=0\ 時(shí)，(a_n, b_n)=b_n$$
4. 裴蜀定理\(ax+by=(a, b)\)
5. \(\gcd\) 的性質(zhì)\((a, b, c)=((a, b), c)\)\((a, b)=(a, b, ax)\)\((a, b, c)=((a, b), (a, c))\)
6. \(\gcd\) 的重要式子已知 \(a, b\) 為正整數(shù)，\((2^a-1, 2^b-1)=2^{(a, b)}-1\)已知 \(a, b\) 為正整數(shù)，\((2^{2^a}+1, 2^{2^b}+1)=1\)
算術(shù)基本定理1. 質(zhì)數(shù)的定義\(p\ge 2, n|p\Rightarrow n=1 \ 或 \ n=p\)
2. 分解質(zhì)因數(shù)一個(gè)大于 \(1\) 的正整數(shù) \(n\) 可以分解為若干個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積，若不考慮質(zhì)因子之間的順序，這種分解方式是唯一的。
3. \(v_p(n)\)\(v_p(n)\) 表示 \(n\) 的標(biāo)準(zhǔn)分解式中所含質(zhì)因子 \(p\) 的指數(shù)。\(v_p(n_1n_2)=v_p(n_1)+v_p(n_2)\)\(v_p(\gcd(n_1, n_2))=\min(v_p(n_1), v_p(n_2))\)\(v_p(\operatorname{lcm}(n_1, n_2))=\max(v_p(n_1), v_p(n_2))\)
\[v_p(n_1, n_2)=\begin{cases}\min(v_p(n_1), v_p(n_2))\ (v_p(n_1)\not= v_p(n_2))\\[2ex]\ge v_p(n_1)=v_p(n_2)\ (v_p(n_1)=v_p(n_2))\end{cases}\]4. 因數(shù)個(gè)數(shù)與因數(shù)和設(shè)正整數(shù) \(n\) 的標(biāo)準(zhǔn)分解式為： \(n=p_1^{e_1}p_2^{e_2}\cdots p_k^{e_k}\)因數(shù)個(gè)數(shù)公式：\(d(n)=(e_1+1)(e_2+1)\cdots (e_k+1)\)因數(shù)和公式：\(\sigma(n)=\frac{p_1^{e_1+1}-1}{p_1-1}\frac{p_2^{e_2+1}-1}{p_2-1}\cdots \frac{p_k^{e_k+1}-1}{p_k-1}\)因數(shù)積：\(n^\frac{d(n)}{2}\)
5. \(\gcd\) 的性質(zhì)\((ma, mb)=m(a, b)\)\((a, uv)=(a, (a, u)v)\)\((u, v)=1\Rightarrow (a, uv)=(a, u)(a, v)\)
6. \(mn\) 與 \(\gcd\) 和 \(\operatorname{lcm}\) 的關(guān)系\((m, n)\times [m, n]=mn\)
同余1. 定義\(n|a-b\Rightarrow a\equiv b\pmod n\)
2. 性質(zhì)若 \(a\equiv b\pmod n\)，則 \(a\) 與 \(b\) 對(duì) \(n\) 作帶余除法所得的余數(shù)相同。自反性：\(a\equiv b\pmod n\Rightarrow b\equiv a\pmod n\)傳遞性：\(a\equiv b\pmod n, b\equiv c\pmod n\Rightarrow a\equiv c\pmod n\)可加減性：\(a_1\equiv a_1\pmod n, b_1\equiv b_2\pmod n\Rightarrow a_1\pm b_1 \equiv a_2\pm b_2\pmod n\)可乘性：\(a_1\equiv a_1\pmod n, b_1\equiv b_2\pmod n\Rightarrow a_1\times b_1 \equiv a_2\times b_2\pmod n\)可除性：\(ka\equiv kb\pmod n\Rightarrow a\equiv b\pmod n\)互質(zhì)可除性：\(ka\equiv kb\pmod n, (k, n)=1\Rightarrow a\equiv b\pmod n\)
3. 特殊數(shù)的余數(shù)特征若 \(m|10^k\)，\(n=a\cdot 10^k+b\)（其中 \(b\) 為 \(n\) 的末 \(k\) 位數(shù)，則 \(n\equiv b\pmod m\)若 \(m|10^k-1\)，\(n=a_s\cdot 10^{sk} +a_{s-1}\cdot 10^{(s-1)k}+\cdots +a_1\cdot 10^k+a_0\)，其中 \(a_s, a_{s-1}, \cdots , a_0\) 均小于 \(10^k\)。則 \(n\equiv a_s+a_{s-1}+\cdots +a_0\pmod m\)若 \(m|10^k+1\)，\(n=a_s\cdot 10^{sk} +a_{s-1}\cdot 10^{(s-1)k}+\cdots +a_1\cdot 10^k+a_0\)，其中 \(a_s, a_{s-1}, \cdots , a_0\) 均小于 \(10^k\)。則 \(n\equiv a_0-a_1+a_2-a_3+\cdots +(-1)^s\cdot a_s\pmod m\)
經(jīng)典余數(shù)定理1. 剩余類\(Z\) 按\(\bmod n\) 分為 \(0\pmod n, 1\pmod n,\cdots n-1\pmod n\)\(Z_n=\lbrace\overline{0}, \overline{1},\cdots, \overline{n-1}\rbrace\)
2. 完全剩余系（簡(jiǎn)稱完系）\(x=\lbrace a_i\in\overline{i}\mid 0\le i\le n-1\rbrace\)
3. 歐拉 \(\varphi\) 函數(shù)\(\varphi(n)\):\(0\sim n-1\) 與 \(n\) 互質(zhì)的個(gè)數(shù)\(m, n\) 互質(zhì) \(\Rightarrow\varphi(mn)=\varphi(m)\cdot\varphi(n)\)
4. 歐拉 \(\varphi\) 函數(shù)的計(jì)算\(\varphi(n)=n\cdot \prod\limits_{i=1}^k(1-\frac{1}{p_i})\)
5. 既約剩余系（簡(jiǎn)稱完系）既約剩余系中的元素是剩余類中與 \(n\) 互質(zhì)的元素。
6. 同余逆已知 \((a, n)=1\)，則存在整數(shù) \(b\) 使得 \(ab\equiv 1\pmod n\)，且這樣的 \(b\) 在模 \(n\) 意義下是唯一的。則 \(b\) 稱為 \(a\) 模 \(n\) 的同余逆，通常記作 \(a^{-1}\pmod n\)
7. 性質(zhì)若 \(\lbrace a_1, a_2, \cdots, a_n\rbrace\) 為模 \(n\) 的完系，則 \(\lbrace a_1+k, a_2+k, \cdots, a_n+k\rbrace\) 也為模 \(n\) 的完系若 \(\lbrace a_1, a_2, \cdots, a_n\rbrace\) 為模 \(n\) 的完系，且 \((m, n)=1\)，則 \(\lbrace ma_1, ma_2, \cdots, ma_n\rbrace\) 也為模 \(n\) 的完系若 \(\lbrace a_1, a_2, \cdots, a_{\varphi(n)}\rbrace\) 為模 \(n\) 的縮系，且 \((m, n)=1\)，則 \(\lbrace ma_1, ma_2, \cdots, ma_{\varphi(n)}\rbrace\) 也為模 \(n\) 的縮系若 \(\lbrace a_1, a_2, \cdots, a_{\varphi(n)}\rbrace\) 為模 \(n\) 的縮系，則 \(\lbrace a_1^{-1}, a_2^{-1}, \cdots, a_{\varphi(n)}^{-1}\rbrace\) 也為模 \(n\) 的縮系
8. 中國(guó)剩余定理已知 \(n_1,n_2\dots n_k\) 兩兩互質(zhì)，同余方程組 \(\begin{cases}x\equiv a_1(\bmod n_1)\\[2ex]x\equiv a_2(\bmod n_2)\\[2ex]\cdots\\[2ex]x\equiv a_k(\bmod n_k)\\\end{cases}\) 在模 \(n=n_1n_2\dots n_k\) 的意義下有唯一解。具體的，設(shè) \(M_i=\dfrac{n}{n_i}\)，\(N_i^{-1}\) 表示 \(M_i\) 在模 \(n_i\) 意義下的逆元。該方程的解為 \(\sum\limits_{i=1}^{k} a_iM_iM_i^{-1}\)。
9. Wilson如果 \(p\) 是一個(gè)素?cái)?shù)，則 \((p-1)!\equiv p-1\pmod p\)
10. 費(fèi)馬小定理\(p\) 為質(zhì)數(shù)，\(a\) 不是 \(p\) 的倍數(shù)，則 \(a^{p-1}\equiv 1\pmod p\)
11. 歐拉定理\(a\) 和 \(n\) 為正整數(shù)，且 \((a, n)=1\)，則 \(a^{\varphi(n)}\equiv 1\pmod n\)
12. 同余的重要式子若 \(a^m\equiv 1\pmod n,a^k\equiv 1\pmod n\Rightarrow a^{(m, k)}\equiv 1\pmod n\)
13. 階若 \((a, n)=1\)，且存在最小的正整數(shù) \(k\)，使得 \(a^k\equiv 1\pmod n\)，且 \(a^n\equiv 1\pmod n\Leftrightarrow k|n\)，此時(shí)的 \(k\) 叫做 \(a\) 模 \(n\) 的階。
群論1. 群的概念群：集合 \(G\)，和運(yùn)算 \(\ast\)，構(gòu)成了一個(gè)群：\((G,\ast)\)。群滿足下面的性質(zhì)：運(yùn)算封閉性： \(\forall x,y\in G,x\ast y\in G\)單位元： \(\exists e\in G,\forall g\in G,e\ast g=g\ast e=g\)逆元： \(\forall g\in G,\exists g"\in G,g\ast g"=g"\ast g=e\)，記作 \(g"=g^{-1}\)結(jié)合律： \(\forall g_1,g_2,g_3\in G,(g_1\ast g_2)\ast g_3=g_1\ast(g_2\ast g_3)\) ?？梢宰C明單位元和逆元唯一。逆元的性質(zhì)： \((a\ast b)^{-1}=b^{-1}\ast a^{-1}\)定義： \(a^b=\underbrace{a\ast a\ast a\cdots \ast a}_\)\(|G|\) 有限為有限群(如 \((\mathbb{Z_n,+}),({\{a_1,\cdots,a_{\varphi(n)}\},\times })\))， \(|G|\) 無(wú)限為無(wú)限群(如 \((\mathbb{Z},+)\))。若 \(\forall a,b\in G,a\ast b=b\ast a\) 則稱群 \((G,\ast)\) 為交換群（阿貝爾群）(如 \((\mathbb{Z},+)\))，否則稱為非交換群(如 \((\mathbb{M_n},\times ),(\mathbb{S},\circ)\))。若 \(H\subseteq G,(H,\ast )\) 也是群，則稱 \((H,\ast )\) 為 \((G,\ast)\) 的子群（如 \((\mathbb{Z},+)\) 的子群為 \((n\mathbb{Z},+),n\in\mathbb{Z}\) ）。循環(huán)群：若 \((G,\ast),G=\{a^m|m\in \mathbb{Z}\}\) 則稱 \((G,\ast)\) 為循環(huán)群。記作 \((G,\ast)=\)，\(a\) 為群 \((G,\ast)\) 的生成元，循環(huán)群一定是交換群（如 \((\mathbb{Z},+)=<1>\) ）。同構(gòu)： 存在雙射 \(f:(G_1,\ast_1)\to (G_2,\ast_2)\) ,使得 \(\forall g_1,g_2\in G_1,f(g_1)\ast_2f(g_2)=f(g_1\ast_1 g_2)\)，則稱 \((G_1,\ast_1)\) 和 \((G_2,\ast_2)\) 同構(gòu)，記作 \((G_1,\ast_1)\cong (G_2,\ast_2)\) 。若兩個(gè)循環(huán)群元素個(gè)數(shù)相同，則兩個(gè)循環(huán)群同構(gòu)，所以任意一個(gè) \(n\) 個(gè)元素的循環(huán)群同構(gòu) \((\mathbb{Z_n},+)\),任意一個(gè)無(wú)限循環(huán)群同構(gòu) \((\mathbb{Z},+)\)。任意一個(gè) \(n\) 個(gè)元素的循環(huán)群有 \(\varphi(n)\) 個(gè)生成元。任意一個(gè)非交換群都同構(gòu) \((\mathbb{S},\circ)\)若 \((H_1,\ast),(H_2,\ast)\) 均為 \((G,\ast)\) 的子群，則 \((H_1\cap H_2,\ast)\) 為 \((G,\ast)\) 的子群拉格朗日定理： 若 \((H,\ast)\) 為 \((G,\ast)\) 的子群，則 \(|H|\Big\vert |G|\) 。
2. 階階：最小的 \(k\in \mathbb{N^{\ast}}\) 使得 \(g^k=e\)，則稱 \(k\) 為 \(g\) 在群 \((G,\ast)\) 的階，記作 \(o(g)\)。在 \((\mathbb{Z},+)\) 中，對(duì)于 \(g\ne 0,o(g)=+\infty\)在 \((G,\ast)\) 中，\(o(e)=1\)在交換群 \((G,\ast)\) 中，若 \(o(g)=n,o(g^k)=\dfrac{n}{\gcd(n,k)}\)在交換群 \((G,\ast)\) 中，\(\max\{o(g)|g\in G\}=\mathrm{lcm}\{o(g)|g\in G\}\)在交換群 \((G,\ast)\) 中，\(g_1,g_2\in G\),若 \(\gcd(o(g_1),o(g_2))=1,o(g_1\ast g_2)=o(g_1)o(g_2)\)
3. 置換群定義置換 \(S_n\) 為雙射 \(f:\{1\sim n\}\to \{1\sim n\}\) 。記作 \(\begin{pmatrix}1,2,\cdots n\\ a_1,a_2\cdots a_n\end{pmatrix}\) 表示 \(f(i)=a_i\) 。輪換：\((i_1,i_2,\cdots i_n)\) 為 \(f(i_j)=\begin{cases}i_{j+1}(j\ne n)\\i_1(j=n)\end{cases}\) 。\(\forall \alpha \in S_n\) \(\alpha\) 可以分解成若干個(gè)不相交輪換的乘積。不相交輪換的乘積具有交換律。若將 \(\alpha\in S\) 分解成若干個(gè)不相交輪換的乘積，即 \(\alpha=S_1\circ S_2\cdots S_k\) ，則 \(o(\alpha)=\mathrm{lcm}(|S_i|(1\le i\le k))\)
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